La cuarta dimensión no se ve: se recorre

Imaginá que vivís pegado a una hoja de papel. No apoyado sobre ella, como una hormiga: pegado, sin poder saltar ni asomarte por arriba o por abajo. Para vos, el mundo tendría dos dimensiones: adelante-atrás y derecha-izquierda.

Un día, una esfera atraviesa tu hoja.

Primero aparece un punto. Después, un círculo pequeño que crece. Luego alcanza su tamaño máximo, empieza a achicarse y finalmente vuelve a ser un punto antes de desaparecer.

¿Qué viste? Nunca viste la esfera completa. Viste una serie de cortes de una esfera tridimensional al pasar por tu mundo plano.

Con la cuarta dimensión ocurre algo parecido. No podemos mirar una dirección espacial adicional como miramos hacia arriba. Pero podemos estudiar qué “corte” tridimensional produciría un objeto de cuatro dimensiones, y seguir esos cortes como si fueran los fotogramas de una película.

No es una imagen completa. Es una traducción. Y, hasta donde sé, es la traducción más honesta que tenemos.

Tres direcciones y una coordenada incómoda

Una dimensión es, en esencia, una dirección independiente. Para decir dónde está tu taza sobre la mesa necesitás dos datos: cuánto hacia un lado y cuánto hacia el otro. Si además querés indicar qué tan alta está, necesitás un tercero.

Por eso nuestro espacio cotidiano tiene tres dimensiones: izquierda-derecha, adelante-atrás y arriba-abajo. Para ubicar un punto hacen falta tres coordenadas, que solemos llamar x, y y z.

Un espacio de cuatro dimensiones necesitaría una coordenada adicional, que suele llamarse w. No sería “más arriba” ni “más adelante”: tendría que ser perpendicular a las tres direcciones conocidas. Y ahí aparece el problema. No tenemos una experiencia cotidiana que corresponda a esa dirección.

Ahora bien, en física seguramente escuchaste hablar de una cuarta dimensión: el tiempo. Para indicar dónde y cuándo ocurre una explosión, por ejemplo, hacen falta tres coordenadas espaciales y una temporal. Eso forma el espacio-tiempo de la relatividad.

Pero una dimensión temporal no es simplemente otra dirección espacial. No podemos movernos por ella como por una habitación, y su relación geométrica con las tres dimensiones espaciales es diferente. En lo que sigue voy a hablar, salvo que avise lo contrario, de una cuarta dimensión espacial. Si esto ya parece bastante abstracto, te pido un poco de paciencia: la matemática tampoco llegó a esta esquina con una brújula y un mapa.

Una esfera vista en rodajas

La manera más útil de representar un objeto de cuatro dimensiones es cortarlo en secciones tridimensionales.

Imaginá una esfera común atravesando una hoja. Los habitantes de la hoja solo pueden observar el círculo que la esfera deja en cada instante. Si registran muchos círculos consecutivos, pueden reconstruir qué está pasando, aunque jamás puedan contemplar la esfera entera.

Para nosotros, una esfera de cuatro dimensiones puede estudiarse de la misma manera. Fijamos un valor de la coordenada w y observamos qué objeto tridimensional queda. Después cambiamos w y miramos la siguiente sección.

La secuencia podría ser:

• nada;
• un punto;
• una esfera tridimensional pequeña;
• una esfera tridimensional cada vez mayor;
• una esfera máxima;
• esferas que se achican;
• un punto;
• nada otra vez.

Eso sería el equivalente cuatridimensional de ver crecer y desaparecer un círculo cuando una esfera atraviesa una hoja.

La matemática puede convertir esa secuencia en una animación, en una serie de dibujos o en un modelo computacional. Cada imagen muestra solo un corte, pero el conjunto permite seguir la evolución del objeto en la dirección w.

Maggie Miller, una matemática de la Universidad de Texas en Austin que estudia topología de cuatro dimensiones, cuenta que suele imaginar esos espacios como una película: un espacio tridimensional en un momento, otro ligeramente distinto después, y otro más tarde. La película no es un truco decorativo. Es una forma de registrar cómo cambia la sección cuando se recorre la cuarta coordenada.

Frená acá: si entendés esto, entendiste la herramienta principal. No vemos la cuarta dimensión directamente; vemos cómo cambian sus cortes tridimensionales.

Los nudos tienen más escapatoria

La cuarta dimensión no solo cambia nuestra manera de dibujar. También cambia qué cosas pueden hacerse sin cortar ni pegar.

Un nudo matemático es un lazo cerrado de cuerda. Si atás un cordón y unís sus extremos, podés formar un nudo que no se transforma en un círculo simple sin atravesar la cuerda consigo misma.

En tres dimensiones, ese nudo está atrapado por su propia geometría. Pero agregale una cuarta dirección espacial y aparece una posibilidad nueva: levantar una parte del lazo en esa dirección, pasarla alrededor de otra y volver a bajarla.

La comparación más sencilla es esta: dibujá dos aros sobre una mesa, uno encerrado dentro del otro. Desde la superficie de la mesa no podés sacar el aro interior sin atravesar el exterior. Pero en nuestro mundo tridimensional podés levantarlo, moverlo alrededor y apoyarlo afuera.

Para un habitante de la mesa, nuestro “arriba” sería una dimensión adicional. Para un habitante de un espacio tridimensional, la cuarta dirección cumpliría un papel parecido.

Por eso un nudo de una dimensión que vive en un espacio de cuatro dimensiones puede desatarse. Todos los nudos ordinarios se vuelven equivalentes allí: con suficiente espacio, dejan de estar anudados.

La primera vez que uno escucha esto, parece que la cuarta dimensión es una especie de habitación de servicio donde todos los problemas topológicos desaparecen. A mí me encanta la idea, pero dura poco.

La cuerda se desata; la superficie no tanto

En cuatro dimensiones aparece un objeto nuevo: una superficie de dos dimensiones dentro de un espacio de cuatro.

Una esfera, la superficie de una pelota, es bidimensional en el sentido topológico: alguien que caminara sobre ella tendría dos direcciones posibles, aunque nosotros podamos señalar una tercera —hacia afuera— para abandonar la superficie. Una dona también es una superficie bidimensional, pero tiene un agujero.

En tres dimensiones, estudiamos lazos anudados. En cuatro dimensiones, estudiamos superficies anudadas. Es el siguiente escalón del mismo problema.

Y acá aparece algo muy raro: la dimensión cuatro es suficientemente grande para desatar las curvas, pero no siempre suficientemente grande para deshacer los enredos de las superficies.

La razón profunda tiene que ver con las intersecciones. Una superficie tiene dos direcciones locales. Cuando dos superficies se encuentran en un espacio de cuatro dimensiones, esas dos direcciones más esas otras dos pueden ocupar todo el espacio disponible. No queda una dirección extra que permita separarlas limpiamente.

La cuenta informal es “dos más dos da cuatro”. No es una explicación completa —la topología real es bastante más complicada—, pero señala el lugar exacto de la dificultad. En cuatro dimensiones, dos superficies pueden cruzarse en puntos de una manera que no se puede eliminar con las maniobras habituales.

A los expertos también les costó. No es que vean una película mental perfecta de un objeto de cuatro dimensiones y después nos oculten el proyector. Muchas veces trabajan con diagramas, invariantes y cálculos algebraicos porque la intuición visual, si se la deja sola, toma decisiones bastante creativas y bastante equivocadas.

Una película de jabón y una pregunta de 1982

Para estudiar superficies anudadas se usan, entre otras cosas, las llamadas superficies de Seifert. El nombre suena importante, pero la idea puede imaginarse con un alambre.

Tomá un lazo de alambre anudado y sumergilo en agua jabonosa. La película que se forma dentro del lazo es una superficie cuyo borde es el nudo. En matemática, una superficie de Seifert cumple justamente ese papel: tiene al nudo como frontera.

Puede haber dos superficies de Seifert con el mismo borde y la misma cantidad de agujeros, pero colocadas de manera diferente en el espacio. En tres dimensiones, algunas no pueden deformarse una en otra sin romperlas o hacerlas atravesarse.

En 1982, el matemático Charles Livingston planteó una pregunta: si esas superficies tienen el mismo género —la misma cantidad de agujeros— y se empujan hacia una bola de cuatro dimensiones, ¿la dimensión extra las vuelve equivalentes?

La pregunta tenía sentido. Muchas diferencias entre objetos se borran al agregar una dimensión. Los nudos ordinarios, como vimos, se desatan. Además, numerosos ejemplos de superficies que eran distintas en tres dimensiones se vuelven isotópicas al llevarlas a cuatro.

Pero “muchas” no significa “todas”.

En 2022, Kyle Hayden, Seungwon Kim, Maggie Miller, JungHwan Park e Isaac Sundberg publicaron una respuesta negativa. Construyeron superficies de Seifert del mismo género, con el mismo nudo como borde, que siguen siendo diferentes dentro de una bola de cuatro dimensiones.

El trabajo presenta varios tipos de diferencia. En algunos casos, las superficies ni siquiera son equivalentes desde el punto de vista topológico. En otros, sí son equivalentes topológicamente, pero no mediante una deformación suave. También encontraron familias infinitas de superficies que siguen siendo distintas si se exige mantener fijo el borde.

El resultado central puede decirse así: agregar una dimensión permite deshacer ciertos nudos, pero no borra toda la complejidad de las superficies.

Cómo se sabe si no se puede dibujar

Los investigadores no resolvieron la pregunta mirando una animación y decidiendo que dos superficies “parecen distintas”. Una animación puede ser sugerente, pero no es una demostración.

Para distinguir las superficies usaron herramientas algebraicas relacionadas con la homología de Khovanov. No hace falta entrar en su construcción para entender la lógica general: se asigna a cada superficie una estructura matemática que funciona como una huella. Si dos superficies tuvieran que ser equivalentes, ciertas huellas tendrían que coincidir. Cuando no coinciden, la equivalencia es imposible.

En algunos ejemplos también estudiaron cubiertas ramificadas dobles. La idea, muy simplificada, es construir otro espacio matemático a partir de la superficie y examinar propiedades de ese nuevo espacio, como su forma de intersección. Si las dos superficies produjeran espacios incompatibles, no podrían ser la misma desde el punto de vista topológico.

Esto es importante porque muestra el límite de la visualización. Las imágenes ayudan a construir el objeto y a formular preguntas, pero la prueba puede vivir en una capa que no se ve: números, grupos, mapas y estructuras algebraicas.

Cuatro dimensiones no significa cuatro ejes dibujados

Cuando alguien muestra un teseracto —el análogo cuatridimensional de un cubo— suele aparecer un cubo dentro de otro, unido por aristas. Es una proyección útil, pero no es un teseracto “tal como es”. Es al teseracto lo que un dibujo de un cubo en una hoja es al cubo real: una sombra organizada.

La proyección aplasta información. Dos partes separadas en cuatro dimensiones pueden aparecer superpuestas en tres. Los cruces del dibujo pueden representar un encuentro real o simplemente el efecto de proyectar. Por eso los diagramas necesitan reglas: colores, flechas, etiquetas y convenciones que indiquen qué está pasando.

También podemos proyectar un objeto de cuatro dimensiones en una pantalla bidimensional, pero cada reducción agrega ambigüedad. A cambio, ganamos algo que nuestros ojos entienden: una imagen quieta, una animación o una rotación.

Yo no diría que estas técnicas nos permiten “ver” la cuarta dimensión. Diría algo más modesto y más útil: nos permiten seguir sus consecuencias.

Una dimensión extra no es una salida mágica

La imagen más linda de esta historia es también la más engañosa: una cuerda anudada que se deshace porque encuentra una dirección que antes no existía.

Pero la cuarta dimensión no es una solución universal. Algunas dificultades desaparecen y otras nacen. Las curvas tienen más libertad; las superficies pueden adquirir formas nuevas de anudamiento. Y justamente cuatro dimensiones son difíciles porque quedan en una frontera: ya no alcanza la intuición de tres, pero tampoco funcionan sin modificaciones todas las herramientas de dimensiones mayores.

Así que, cuando te pregunten qué aspecto tiene la cuarta dimensión, podés responder que no tiene un aspecto único. A veces se parece a una película de espacios tridimensionales; a veces, a una colección de cortes; a veces, a una huella algebraica imposible de dibujar.

La cuarta dimensión no entra en nuestros ojos como una habitación escondida: se deja conocer, de a una rodaja y un fotograma por vez.